集合の演算
定理(\(\cup\)の可換律)
\[ A \cup B = B \cup A。 \]
証明
任意の\(x\)に対し: \[\begin{align} & x \in A \cup B \\ & \Leftrightarrow x \in A \vee x \in B \\ & \Leftrightarrow x \in B \vee x \in A \\ & \Leftrightarrow x \in B \cup A。 \end{align}\]
定理(\(\cup\)の結合律)
\[ (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)。 \]
証明
任意の\(x\)に対し: \[\begin{align} & x \in (A \cup B) \cup C \\ & \Leftrightarrow x \in A \cup B \vee x \in C \\ & \Leftrightarrow (x \in A \vee x \in B) \vee x \in C \\ & \Leftrightarrow x \in A \vee (x \in B \vee x \in C) \\ & \Leftrightarrow x \in A \vee x \in B \cup C \\ & \Leftrightarrow x \in A \cup (B \cup C)。 \end{align}\]
定理(\(\cup\)の冪等律)
\[ A \cup A = A。 \]
証明
任意の\(x\)に対し: \[\begin{align} & x \in A \cup A \\ & \Leftrightarrow x \in A \vee x \in A \\ & \Leftrightarrow x \in A。 \end{align}\]
定理(\(\cup\)の零元)
\(A \subseteq \mathbb{U}\)とすると、 \[ A \cup \mathbb{U} = \mathbb{U}。 \]
証明
任意の\(x \in \mathbb{U}\)に対し: \[\begin{align} & x \in A \cup \mathbb{U} \\ & \Leftrightarrow x \in A \vee x \in \mathbb{U} \\ & \Leftrightarrow x \in A \vee \top \\ & \Leftrightarrow \top \\ & \Leftrightarrow x \in \mathbb{U}。 \end{align}\]
定理(\(\cup\)の単位元)
\[ A \cup \emptyset = A。 \]
証明
任意の\(x\)に対し: \[\begin{align} & x \in A \cup \emptyset \\ & \Leftrightarrow x \in A \vee x \in \emptyset \\ & \Leftrightarrow x \in A \vee \bot \\ & \Leftrightarrow x \in A。 \end{align}\]
定理(排中律)
\(A \subseteq \mathbb{U}\)とすると、 \[ A \cup (-A) = \mathbb{U}。 \]
証明
任意の\(x \in \mathbb{U}\)に対し: \[\begin{align} & x \in A \cup (-A) \\ & \Leftrightarrow x \in A \vee x \in -A \\ & \Leftrightarrow x \in A \vee x \not\in A \\ & \Leftrightarrow \top \\ & \Leftrightarrow x \in \mathbb{U}。 \end{align}\]
定理(\(\cap\)の可換律)
\[ A \cap B = B \cap A。 \]
証明
任意の\(x\)に対し: \[\begin{align} & x \in A \cap B \\ & \Leftrightarrow x \in A \wedge x \in B \\ & \Leftrightarrow x \in B \wedge x \in A \\ & \Leftrightarrow x \in B \cap A。 \end{align}\]
定理(\(\cap\)の結合律)
\[ (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)。 \]
証明
任意の\(x\)に対し: \[\begin{align} & x \in (A \cap B) \cap C \\ & \Leftrightarrow x \in A \cap B \wedge x \in C \\ & \Leftrightarrow (x \in A \wedge x \in B) \wedge x \in C \\ & \Leftrightarrow x \in A \wedge (x \in B \wedge x \in C) \\ & \Leftrightarrow x \in A \wedge x \in B \cap C \\ & \Leftrightarrow x \in A \cap (B \cap C)。 \end{align}\]
定理(\(\cap\)の冪等律)
\[ A \cap A = A。 \]
証明
任意の\(x\)に対し: \[\begin{align} & x \in A \cap A \\ & \Leftrightarrow x \in A \wedge x \in A \\ & \Leftrightarrow x \in A。 \end{align}\]
定理(\(\cap\)の零元)
\[ A \cap \emptyset = \emptyset。 \]
証明
任意の\(x\)に対し: \[\begin{align} & x \in A \cap \emptyset \\ & \Leftrightarrow x \in A \wedge x \in \emptyset \\ & \Leftrightarrow x \in A \wedge \bot \\ & \Leftrightarrow \bot \\ & \Leftrightarrow x \in \emptyset。 \end{align}\]
定理(\(\cap\)の単位元)
\(A \subseteq \mathbb{U}\)とすると、 \[ A \cap \mathbb{U} = A。 \]
証明
任意の\(x \in \mathbb{U}\)に対し: \[\begin{align} & x \in A \cap \mathbb{U} \\ & \Leftrightarrow x \in A \wedge x \in \mathbb{U} \\ & \Leftrightarrow x \in A \wedge \top \\ & \Leftrightarrow x \in A。 \end{align}\]
定理(矛盾律)
\[ A \cap (-A) = \emptyset。 \]
証明
任意の\(x\)に対し: \[\begin{align} & x \in A \cap (-A) \\ & \Leftrightarrow x \in A \wedge x \in -A \\ & \Leftrightarrow x \in A \wedge x \not\in A \\ & \Leftrightarrow \bot \\ & \Leftrightarrow x \in \emptyset。 \end{align}\]
定理(\(\cap\)上の\(\cup\)の分配律)
\[ A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\text{。} \]
証明
任意の\(x\)に対し: \[\begin{align} & x \in A \cup (B \cap C) \\ & \Leftrightarrow x \in A \vee x \in B \cap C \\ & \Leftrightarrow x \in A \vee (x \in B \wedge x \in C) \\ & \Leftrightarrow (x \in A \vee x \in B) \wedge (x \in A \vee x \in C) \\ & \Leftrightarrow x \in A \cup B \wedge x \in A \cup C \\ & \Leftrightarrow x \in (A \cup B) \cap (A \cup C)\text{。} \end{align}\]
定理(\(\cup\)上の\(\cap\)の分配律)
\[ A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\text{。} \]
証明
任意の\(x\)に対し: \[\begin{align} & x \in A \cap (B \cup C) \\ & \Leftrightarrow x \in A \wedge x \in B \cup C \\ & \Leftrightarrow x \in A \wedge (x \in B \vee x \in C) \\ & \Leftrightarrow (x \in A \wedge x \in B) \vee (x \in A \wedge x \in C) \\ & \Leftrightarrow x \in A \cap B \vee x \in A \cap C \\ & \Leftrightarrow x \in (A \cap B) \cup (A \cap C)\text{。} \end{align}\]
定理(de Morgan律)
\[ X - (A \cup B) = (X - A) \cap (X - B)\text{。} \] 特に\(A,B \subseteq X\)の時、 \[ -(A \cup B) = -A \cap -B\text{。} \]
証明
任意の\(x\)に対し: \[\begin{align} & x \in X - (A \cup B) \\ & \Leftrightarrow x \in X \wedge x \not\in A \cup B \\ & \Leftrightarrow x \in X \wedge \neg(x \in A \vee x \in B) \\ & \Leftrightarrow x \in X \wedge (x \not\in A \wedge x \not\in B) \\ & \Leftrightarrow (x \in X \wedge x \not\in A) \wedge (x \in X \wedge x \not\in B) \\ & \Leftrightarrow x \in X - A \wedge x \in X - B \\ & \Leftrightarrow x \in (X - A) \cap (X - B)\text{。} \end{align}\]
定理(de Morgan律)
\[ X - (A \cap B) = (X - A) \cup (X - B)\text{。} \] 特に\(A,B \subseteq X\)の時、 \[ -(A \cap B) = -A \cup -B\text{。} \]
証明
任意の\(x\)に対し: \[\begin{align} & x \in X - (A \cap B) \\ & \Leftrightarrow x \in X \wedge x \not\in A \cap B \\ & \Leftrightarrow x \in X \wedge \neg(x \in A \wedge x \in B) \\ & \Leftrightarrow x \in X \wedge (x \not\in A \vee x \not\in B) \\ & \Leftrightarrow (x \in X \wedge x \not\in A) \vee (x \in X \wedge x \not\in B) \\ & \Leftrightarrow x \in X - A \vee x \in X - B \\ & \Leftrightarrow x \in (X - A) \cup (X - B)\text{。} \end{align}\]
以下、書きかけです。