「無矛盾な公理的集合論は自己そのものの無矛盾性を証明することができないから」

—長門有希の台詞、笹の葉ラプソディ(涼宮ハルヒの退屈収録)より

集合論の公理系

集合論で用いる記号は次の通りです。

変数:\(v_0,v_1,v_2,\dots\)
結合子:\(\neg,\vee\)
量化子:\(\exists\)
括弧:\((,)\)
等号:\(=\)
二項述語:\(\in\)

集合論の論理式は次のように帰納的に定義されます。

\(x,y\)が変数の時、\(x=y\)及び\(x \in y\)は論理式。
\(\phi,\psi\)が論理式の時、\((\neg\phi)\)及び\((\phi\vee\psi)\)は論理式。
\(\phi\)が論理式の時、\(((\exists)\phi)\)は論理式。
上記の1.と2.と3.によって論理式とされるものだけが論理式。

可読性を上げる為に括弧は適時省略し、いくつかの略記法も導入します。

\(x \neq y\)は\(\neg x=y\)の略記。
\(x \not\in y\)は\(\neg x \in y\)の略記。
\((\phi\wedge\psi)\)は\(\neg(\neg\phi\vee\neg\psi)\)の略記。
\((\phi\Rightarrow\psi)\)は\(\neg\phi\vee\psi\)の略記。
\((\phi\Leftrightarrow\psi)\)は\((\phi\Rightarrow\psi)\wedge(\psi\Rightarrow\phi)\)の略記。
\(\bot\)は\(\phi \wedge \neg\phi\)の略記（ここで\(\phi\)は適当に1つ固定した論理式）。
\(\top\)は\(\phi \vee \neg\phi\)の略記（ここで\(\phi\)は適当に1つ固定した論理式）。
\(((\forall x)\phi)\)は\(\neg\exists x\neg\phi\)の略記。
\(((\exists! x)\phi)\)は\(\exists x(\phi \wedge \forall y(\phi \Rightarrow x=y))\)の略記。
\(\forall x \in A \phi\)は\(\forall x (x \in A \Rightarrow \phi)\)の略記。
\(\exists x \in A \phi\)は\(\exists x (x \in A \wedge \phi)\)の略記。
\(\exists! x \in A \phi\)は\(\exists! x (x \in A \wedge \phi)\)の略記。
\(\forall x_1,\dots,x_n\phi\)は\(\forall x_1 \cdots \forall x_n\phi\)の略記。
\(\exists x_1,\dots,x_n\phi\)は\(\exists x_1 \cdots \exists x_n\phi\)の略記。
\(x \star y \star z\)は\(x \star y \wedge y \star z\)の略記(ここで\(\star\)は二項述語)。
\(x_1,\dots,x_n \star A\)は\(x_1 \star A \wedge \cdots \wedge x_n \star A\)の略記(ここで\(\star\)は二項述語)。

さらに、変数をメタ記号\(a,b,c,\dots\)や\(A,B,C,\dots\)や\(\mathscr{A,B,C,\dots}\)などで参照することにし、集合とは変数の値のことであると解釈します。また、\(a \in A\)を「\(a\)は\(A\)の要素である」、 \(\neg \phi\)を「\(\phi\)の否定」、 \(\phi \vee \psi\)を「\(\phi\)または\(\psi\)」、 \(\phi \wedge \psi\)を「\(\phi\)かつ\(\psi\)」、 \(\phi \Rightarrow \psi\)を「\(\phi\)ならば\(\psi\)」、 \(\phi \Leftrightarrow \psi\)を「\(\phi\)と\(\psi\)は同値」、 \(\bot\)を「偽」、\(\top\)を「真」、 \(\forall x \phi\)を「任意の\(x\)に対し\(\phi\)である」、 \(\exists x \phi\)を「\(\phi\)であるような\(x\)が存在する」、 \(\exists! x \phi\)を「\(\phi\)であるような\(x\)がただ一つ存在する」とそれぞれ解釈します。

次に、変数の自由出現の概念を定義します。

\(x\)が\(y=z\)に自由に現れる iff \(x\)が\(y\)と同じ変数または\(x\)が\(z\)と同じ変数。
\(x\)が\(y \in z\)に自由に現れる iff \(x\)が\(y\)と同じ変数または\(x\)が\(z\)と同じ変数。
\(x\)が\(\neg\phi\)に自由に現れる iff \(x\)が\(\phi\)に自由に現れる。
\(x\)が\(\phi\vee\psi\)に自由に現れる iff \(x\)が\(\phi\)に自由に現れるまたは\(x\)が\(\psi\)に自由に現れる。
\(x\)が\(\exists y\phi\)に自由に現れる iff \(x\)が\(\phi\)に自由に現れるかつ\(x\)と\(y\)が異なる変数。

それではZFC集合論の公理と呼ばれる論理式を列挙していきます。なお、公理からの論理的帰結として導かれる論理式のことを定理と言います。

公理(外延性公理)

\[ \forall A, B [\forall x (x \in A \Leftrightarrow x \in B) \Rightarrow A = B ]\text{。} \] すなわち、2つの集合が全く同じ要素を持つならば、それらの集合は等しいということです。

定義(部分集合)

\[A \subseteq B :\Leftrightarrow \forall x \in A (x \in B)\text{。}\]

定理(\(\subseteq\)の反射律)

\[\forall A(A \subseteq A)\text{。}\]

証明

\(\subseteq\)の定義と\(\Rightarrow\)の反射律から直ちに出ます。

定理(\(\subseteq\)の推移律)

\[\forall A,B,C(A \subseteq B \wedge B \subseteq C \Rightarrow A \subseteq C)\text{。}\]

証明

\(\subseteq\)の定義と\(\Rightarrow\)の推移律から直ちに出ます。

定理(\(\subseteq\)の反対称律)

\[\forall A,B(A \subseteq B \wedge B \subseteq A \Leftrightarrow A = B)\text{。}\]

証明

\(\subseteq\)の定義と相互含意から直ちに出ます。

定理(外延性)

\[\forall A,B,X[A,B \subseteq X \wedge \forall x \in X(x \in A \Leftrightarrow x \in B) \Rightarrow A = B]\text{。}\]

証明

任意の\(A,B,X\)について\(A,B \subseteq X\)を仮定すると、 \[ \begin{align} & \forall x \in X(x \in A \Leftrightarrow x \in B) \\ & \Leftrightarrow \quad\because [\phi \Rightarrow (\psi \Leftrightarrow \eta)] \Leftrightarrow \phi \wedge \psi \Leftrightarrow \phi \wedge \eta \\ & \forall x(x \in X \wedge x \in A \Leftrightarrow x \in X \wedge x \in B) \\ & \Leftrightarrow \quad\because \text{仮定より} x \in A \Rightarrow x \in X \wedge x \in B \Rightarrow x \in X \\ & \forall x(x \in A \Leftrightarrow x \in B) \\ & \Leftrightarrow \quad\because \text{外延性公理} \\ & A=B\text{。} \end{align} \]

定理(indirect inequality)

\[\forall A,B[A \subseteq B \Leftrightarrow \forall X(X \subseteq A \Rightarrow X \subseteq B)]\text{。}\]

証明

(\(\Rightarrow\)):\(A \subseteq B\)を仮定すると、任意の\(X\)に対し、 \[ \begin{align} & X \subseteq A \\ & \Rightarrow \quad\because \text{仮定}A \subseteq B\text{と}\subseteq\text{の推移律} \\ & X \subseteq B\text{。} \end{align} \]

(\(\Leftarrow\)): \[ \begin{align} & \forall X(X \subseteq A \Rightarrow X \subseteq B)] \\ & \Rightarrow \quad\because A\text{で具現化} \\ & A \subseteq A \Rightarrow A \subseteq B \\ & \Leftrightarrow \quad\because \subseteq\text{の反射律} \\ & A \subseteq B\text{。} \end{align} \]

定理(indirect inequality)

\[\forall A,B[A \subseteq B \Leftrightarrow \forall X(B \subseteq X \Rightarrow A \subseteq X)]\text{。}\]

証明

(\(\Rightarrow\)):\(A \subseteq B\)を仮定すると、任意の\(X\)に対し、 \[ \begin{align} & B \subseteq X \\ & \Rightarrow \quad\because \text{仮定}A \subseteq B\text{と}\subseteq\text{の推移律} \\ & A \subseteq X\text{。} \end{align} \]

(\(\Leftarrow\)): \[ \begin{align} & \forall X(B \subseteq X \Rightarrow A \subseteq X)] \\ & \Rightarrow \quad\because B\text{で具現化} \\ & B \subseteq B \Rightarrow A \subseteq B \\ & \Leftrightarrow \quad\because \subseteq\text{の反射律} \\ & A \subseteq B\text{。} \end{align} \]

定理(indirect equality)

\[\forall A,B[A = B \Leftrightarrow \forall X(X \subseteq A \Leftrightarrow X \subseteq B)]\text{。}\]

証明

任意の\(A,B\)に対し: \[ \begin{align} & \forall X(X \subseteq A \Leftrightarrow X \subseteq B) \\ & \Leftrightarrow \quad\because \text{相互含意と}\wedge\text{上の}\forall\text{の分配律} \\ & \forall X(X \subseteq A \Rightarrow X \subseteq B) \wedge \forall X(X \subseteq B \Rightarrow X \subseteq A) \\ & \Leftrightarrow \quad\because \text{indirect inequality} \\ & A \subseteq B \wedge B \subseteq A \\ & \Leftrightarrow \quad\because \subseteq\text{の反対称律} \\ & A = B\text{。} \end{align} \]

定理(indirect equality)

\[\forall A,B[A = B \Leftrightarrow \forall X(A \subseteq X \Leftrightarrow B \subseteq X)]\text{。}\]

証明

任意の\(A,B\)に対し: \[ \begin{align} & \forall X(A \subseteq X \Leftrightarrow B \subseteq X) \\ & \Leftrightarrow \quad\because \text{相互含意と}\wedge\text{上の}\forall\text{の分配律} \\ & \forall X(A \subseteq X \Rightarrow B \subseteq X) \wedge \forall X(B \subseteq X \Rightarrow A \subseteq X) \\ & \Leftrightarrow \quad\because \text{indirect inequality} \\ & B \subseteq A \wedge A \subseteq B \\ & \Leftrightarrow \quad\because \subseteq\text{の反対称律} \\ & A = B\text{。} \end{align} \]

公理(空集合公理)

\[ \exists S \forall x(x \not\in S)\text{。}\] すなわち、要素を1つも持たない集合が存在するということです。

なお、空集合公理は後に挙げる無限公理と分出公理から証明可能なので実のところ論理的には不要なのですが、議論の分かりやすさのために今は公理に含めておくことにします。

外延性公理と空集合公理から次の定理が導かれます。

定理(空集合の一意性)

\[ \exists! S \forall x(x \not\in S)\text{。}\]

証明

空集合公理\(\exists S \forall x(x \not\in S)\)を満たす\(S\)を2つ固定します(\(A\)及び\(B\)と名付けることにします)。 \(x\)を任意に1つとり\(x \in A\)を仮定すると\(x \not\in A\)と矛盾するので\(x \in B\)を導くことができ、逆もまた同様です。従って\(\forall x (x \in A \Leftrightarrow x \in B)\)ですから、外延性公理によって\(A = B\)が導けます。

空集合の一意性が示せましたので、この集合を指す記号を新たに導入します。

定義(空集合)

\(\forall x(x \not\in S)\)を満たす唯一の集合\(S\)を空集合と言い、\(\emptyset\)と書くことにします。

定理(\(\subseteq\)の最小元)

\[\forall A(\emptyset \subseteq A)\text{。}\]

証明

任意の\(x\)に対し:

\[\begin{align} & x \in \emptyset \\ & \Leftrightarrow\quad\because \emptyset\text{の定義} \\ & \bot \\ & \Rightarrow\quad\because \bot\Rightarrow\phi \\ & x \in A \end{align}\]

公理(非順序対公理)

\[ \forall a,b \exists S \forall x(x \in S \Leftrightarrow x = a \vee x = b)。 \] すなわち、集合\(a\)と\(b\)が与えられた時、\(a\)と\(b\)のみを要素とする集合が存在するということです。

なお、非順序対公理は後に挙げる置換公理から証明可能なので論理的には不要ですが、議論の分かりやすさのためにこれも公理に含めておくことにします。

定理(非順序対の一意性)

\[ \forall a,b \exists! S \forall x(x \in S \Leftrightarrow x = a \vee x = b)。 \]

証明

\(a\)と\(b\)を任意の集合とします。非順序対公理より\(\exists! S \forall x(x \in S \Leftrightarrow x = a \vee x = b)\)ですから、これを満たす\(S\)を2つ固定し、\(A\)及び\(B\)と名付けます。 \(x\)を任意に1つとると、 \[\begin{align} & x \in A \\ & \Leftrightarrow x = a \vee x = b \\ & \Leftrightarrow x \in B \end{align}\] ですから、外延性公理によって\(A = B\)が導けます。

非順序対の一意性が示せましたので、この集合を指す記号を新たに導入します。

定義(非順序対)

任意の集合\(a\)と\(b\)に対し、\(\forall x(x \in S \Leftrightarrow x = a \vee x = b)\)を満たす唯一の集合\(S\)を \(a\)と\(b\)の非順序対と言い、\(\{a,b\}\)と書くことにします。

公理(和集合公理)

\[ \forall \mathscr{A} \exists S \forall x[x \in S \Leftrightarrow \exists A \in \mathscr{A} (x \in A)]。 \] すなわち、任意の集合\(\mathscr{A}\)が与えられた時、\(\mathscr{A}\)の要素の要素の全体もまた集合になるということです。

定理(和集合の一意性)

\[ \forall \mathscr{A} \exists S! \forall x[x \in S \Leftrightarrow \exists A \in \mathscr{A} (x \in A)]。 \]

証明

空集合や非順序対の一意性の証明と同様なので省略します。

定義(和集合)

任意の集合\(\mathscr{A}\)に対し、\(\forall x[x \in S \Leftrightarrow \exists A \in \mathscr{A} (x \in A)]\)を満たす唯一の集合\(S\)を\(\mathscr{A}\)の和集合と言い、\(\bigcup\mathscr{A}\)と書くことにします。

定義(和集合)

任意の集合\(A\)と\(B\)に対し、\(\bigcup\{A,B\}\)を\(A\)と\(B\)の和集合と言い、\(A \cup B\)と書くことにします。

定理(和集合)

\[ \forall A,B,x(x \in A \cup B \Leftrightarrow x \in A \vee x \in B)。 \]

証明

\[ \begin{align} & x \in A \cup B \\ & \Leftrightarrow x \in \bigcup\{A,B\} \\ & \Leftrightarrow \exists X \in \{A,B\}(x \in X) \\ & \Leftrightarrow \exists X(x \in X \wedge (X = A \vee X = B)) \\ & \Leftrightarrow \exists X(x \in X \wedge X = A) \vee \exists X(x \in X \wedge X = B) \\ & \Leftrightarrow x \in A \vee x \in B。 \end{align} \]

定理(弱化)

\[ A \subseteq A \cup B。 \]

証明

任意の\(x\)に対し: \[\begin{align} & x \in A \cup B \\ & \Leftrightarrow x \in A \vee x \in B \\ & \Leftarrow x \in A。 \end{align}\]

定理

\[ A \subseteq B \wedge C \subseteq D \Rightarrow A \cup C \subseteq B \cup D\text{。} \]

証明

\(A \subseteq B \wedge C \subseteq D\)を仮定すると、任意の\(x\)に対し: \[\begin{align} & x \in A \cup C \\ & \Leftrightarrow x \in A \vee x \in C \\ & \Rightarrow x \in B \vee x \in D \\ & \Leftrightarrow x \in B \cup D\text{。} \end{align}\]

定理(\(\cup\)の単調性)

\[ A \subseteq B \Rightarrow A \cup C \subseteq B \cup C\text{。} \]

証明

先の定理で\(C=D\)とする。

定理(\(\bigcup\)の単調性)

\[ \mathscr{A} \subseteq \mathscr{B} \Rightarrow \bigcup\mathscr{A} \subseteq \bigcup\mathscr{B}\text{。} \]

証明

\(\mathscr{A} \subseteq \mathscr{B}\)を仮定すると、任意の\(x\)に対し: \[\begin{align} & x \in \bigcup\mathscr{A} \\ & \Leftrightarrow\quad\because \bigcup\text{の定義} \\ & \exists X \in \mathscr{A}(x \in X) \\ & \Rightarrow\quad\because \text{単調性}:\text{仮定より}X \in \mathscr{A} \Rightarrow X \in \mathscr{B} \\ & \exists X \in \mathscr{B}(x \in X) \\ & \Leftrightarrow\quad\because \bigcup\text{の定義} \\ & x \in \bigcup\mathscr{B}\text{。} \end{align}\]

定理

\[ A \in \mathscr{A} \Rightarrow A \subseteq \bigcup\mathscr{A}\text{。} \]

証明

\(A \in \mathscr{A}\)を仮定すると、任意のxに対し: \[\begin{align} & x \in \bigcup\mathscr{A} \\ & \Leftrightarrow \quad\because \bigcup\text{の定義} \\ & \exists A \in \mathscr{A}(x \in A) \\ & \Leftarrow \quad\because \exists\text{-導入} \\ & A \in \mathscr{A} \wedge x \in A \\ & \Leftrightarrow \quad\because \text{仮定}A \in \mathscr{A} \\ & x \in A\text{。} \end{align}\]

定義(単元集合)

\[\{a\} := \{a,a\}\text{。}\]

定義

\[\{a,b,c\} := \{a,b\} \cup \{c\}\text{。}\]

定義

\[\{a,b,c,d\} := \{a,b,c\} \cup \{d\}\text{。}\]

公理(冪集合公理)

\[ \forall A \exists \mathscr{S} \forall X(X \in \mathscr{S} \Leftrightarrow X \subseteq A)。 \] すなわち、任意の集合\(A\)が与えられた時、\(A\)の部分集合の全体もまた集合になるということです。

定理(冪集合の一意性)

\[ \forall A \exists! \mathscr{S} \forall X(X \in \mathscr{S} \Leftrightarrow X \subseteq A)。 \]

証明

空集合や非順序対の一意性の証明と同様なので省略します。

定義(冪集合)

任意の集合\(A\)に対し、\(\forall X(X \in \mathscr{S} \Leftrightarrow X \subseteq A)\)を満たす唯一の集合\(\mathscr{S}\)を\(A\)の和集合と言い、\(\mathcal{P} A\)と書くことにします。

定理(\(\mathcal{P}\)の単調性)

\[A \subseteq B \Leftrightarrow \mathcal{P}A \subseteq \mathcal{P}B\text{。}\]

証明

\[\begin{align} & \mathcal{P}A \subseteq \mathcal{P}B \\ & \Leftrightarrow \quad\because \subseteq\text{の定義} \\ & \forall X(X \in \mathcal{P}A \Rightarrow X \in \mathcal{P}B) \\ & \Leftrightarrow \quad\because \mathcal{P}\text{の定義} \\ & \forall X(X \subseteq A \Rightarrow X \subseteq B) \\ & \Leftrightarrow \quad\because \text{indirect inequality} \\ & A \subseteq B\text{。} \end{align}\]

定理

\[A \in \mathscr{A} \Rightarrow \mathcal{P}A \in \mathcal{P}\mathcal{P}\bigcup\mathscr{A}\text{。}\]

証明

\[\begin{align} & \mathcal{P}A \in \mathcal{P}\mathcal{P}\bigcup\mathscr{A} \\ & \Leftrightarrow \quad\because \mathcal{P}\text{の定義} \\ & \mathcal{P}A \subseteq \mathcal{P}\bigcup\mathscr{A} \\ & \Leftrightarrow \quad\because \mathcal{P}\text{の単調性} \\ & A \subseteq \bigcup\mathscr{A} \\ & \Leftarrow \quad\because A \in \mathscr{A} \Rightarrow A \subseteq \bigcup\mathscr{A} \\ & A \in \mathscr{A}\text{。} \end{align}\]

公理図式(分出公理図式)

\(S\)が自由に現れない任意の論理式\(\phi\)に対し、次の論理式は公理となる: \[ \forall A,t_1,\dots,t_n \exists S \forall x(x \in S \Leftrightarrow x \in A \wedge \phi)。 \] すなわち、任意の集合\(A\)が与えられた時、\(A\)の要素のうち条件\(\phi\)を満たすものの全体もまた集合になるということです。そしてそのような集合\(S\)は、外延性公理によって一意に定まります。

なお、分出公理図式は後に挙げる置換公理図式から証明可能なので論理的には不要です。

定理(共通部分の存在)

\[ \forall \mathscr{A}\Bigl[\mathscr{A}\neq\emptyset \Rightarrow \exists! S \forall x[x \in S \Leftrightarrow \forall A \in \mathscr{A}(x \in A)]\Bigr]。 \]

証明

集合\(\mathscr{A}\)を任意に1つとり、\(\mathscr{A}\neq\emptyset\)を仮定します。空集合公理より\(\exists A(A \in \mathscr{A})\)ですから、そのような\(A\)を1つ固定します。すると分出公理図式と外延性公理によって、 \[\exists! S \forall x[x \in S \Leftrightarrow x \in A \wedge \forall A \in \mathscr{A}(x \in A)] \] が得られますが、\(A \in \mathscr{A}\)より\(\forall A \in \mathscr{A}(x \in A) \Rightarrow x \in A\)なので、この式は \[\exists! S \forall x[x \in S \Leftrightarrow \forall A \in \mathscr{A}(x \in A)]\] と同値です。

定義(共通部分)

\(\mathscr{A}\neq\emptyset\)である任意の集合\(\mathscr{A}\)に対し、 \(\forall x[x \in S \Leftrightarrow \forall A \in \mathscr{A}(x \in A)]\)を満たす唯一の集合\(S\)を\(\mathscr{A}\)の共通部分と言い、\(\bigcap\mathscr{A}\)と書くことにします。

定義(共通部分)

任意の集合\(A\)と\(B\)に対し、\(\bigcap\{A,B\}\)を\(A\)と\(B\)の共通部分と言い、\(A \cap B\)と書くことにします。

定理(共通部分)

\[ \forall A,B,x(x \in A \cap B \Leftrightarrow x \in A \wedge x \in B)。 \]

証明

\[ \begin{align} & x \in A \cap B \\ & \Leftrightarrow x \in \bigcap\{A,B\} \\ & \Leftrightarrow \forall X \in \{A,B\}(x \in X) \\ & \Leftrightarrow \forall X(X = A \vee X = B \Rightarrow x \in X) \\ & \Leftrightarrow \forall X(X = A \Rightarrow x \in X) \wedge \forall X(X = B \Rightarrow x \in X) \\ & \Leftrightarrow x \in A \wedge x \in B。 \end{align} \]

定理(強化)

\[ A \cap B \subseteq A。 \]

証明

任意の\(x\)に対し: \[\begin{align} & x \in A \cap B \\ & \Leftrightarrow x \in A \wedge x \in B \\ & \Rightarrow x \in A。 \end{align}\]

定理

\[ A \subseteq B \wedge C \subseteq D \Rightarrow A \cap C \subseteq B \cap D。 \]

証明

\(A \subseteq B \wedge C \subseteq D\)を仮定すると、任意の\(x\)に対し: \[\begin{align} & x \in A \cup C \\ & \Leftrightarrow x \in A \wedge x \in C \\ & \Rightarrow x \in B \wedge x \in D \\ & \Leftrightarrow x \in B \cup D\text{。} \end{align}\]

定理(\(\cap\)の単調性)

\[ A \subseteq B \Rightarrow A \cap C \subseteq B \cap C\text{。} \]

証明

先の定理で\(C=D\)とする。

定理(\(\bigcap\)の反単調性)

\[ \emptyset \neq \mathscr{A} \subseteq \mathscr{B} \Rightarrow \bigcap\mathscr{B} \subseteq \bigcap\mathscr{A}\text{。} \]

証明

\(\emptyset \neq \mathscr{A} \subseteq \mathscr{B}\)を仮定すると、任意の\(x\)に対し: \[\begin{align} & x \in \bigcap\mathscr{B} \\ & \Leftrightarrow\quad\because \bigcap\text{の定義} \\ & \forall X \in \mathscr{B}(x \in X) \\ & \Rightarrow\quad\because \text{反単調性}:\text{仮定より}X \in \mathscr{A} \Rightarrow X \in \mathscr{B} \\ & \forall X \in \mathscr{A}(x \in X) \\ & \Leftrightarrow\quad\because \bigcap\text{の定義} \\ & x \in \bigcap\mathscr{A}\text{。} \end{align}\]

定義(補集合)

任意の集合\(X\)と\(A\)に対し、分出公理 \[\exists S \forall x (x \in S \Leftrightarrow x \in X \wedge x \not\in A)\] によって存在が保証される唯一の集合\(S\)を\(A\)の\(X\)における補集合と呼び、\(X-A\)と書くことにします。また、\(A \subseteq X\)かつ\(X\)が文脈から明らかな時、\(X-A\)を単に\(-A\)と書くことにします。

定理(\(-\)の反単調性)

\[ A \subseteq B \Rightarrow X - B \subseteq X - A \text{。} \]

証明

\(A \subseteq B\)を仮定すると、任意の\(x\)に対し: \[\begin{align} & x \in X - B \\ & \Leftrightarrow\quad\because -\text{の定義} \\ & x \in X \wedge x \not\in B \\ & \Rightarrow\quad\because \text{仮定より得られる}x \in A \Rightarrow x \in B\text{の対偶} \\ & x \in X \wedge x \not\in A \\ & \Leftrightarrow\quad\because -\text{の定義} \\ & x \in X - A\text{。} \end{align}\]

定義(集合内包表記)

\(\phi\)を\(S\)が自由に現れない任意の論理式とし、任意の集合\(A,t_1,\dots,t_n\)が与えられた際に分出公理によって存在が保証される、 \[ \forall x(x \in S \Leftrightarrow x \in A \wedge \phi)。 \] を満たす唯一の集合\(S\)を、 \[\{x \in A \mid \phi\}\] と書くことにします。特に\(\phi \Rightarrow x \in A\)の時は、 \[\{x \mid \phi\}\] と略記しても良いことにします。

今、\(A\)と\(\mathscr{B}\)を任意の集合とすると、分出公理によって集合 \[\{X \in \mathcal{P}(A \cup \bigcup\mathscr{B}) \mid \exists B \in \mathscr{B}(X = A \cup B) \} \] が得られますが、\(B \in \mathscr{B}\)の時\(B \in \mathscr{B} \Rightarrow B \subseteq \bigcup\mathscr{B}\)と \(\cup\)の単調性より\(A \cup B \subseteq A \cup \bigcup\mathscr{B}\) すなわち\(A \cup B \in \mathcal{P}(A \cup \bigcup\mathscr{B})\)が成り立ちますので、この集合は先の取り決めに従い \[\{X \mid \exists B \in \mathscr{B}(X = A \cup B) \} \] と略記出来ます。さらにこの集合を \[\{ A \cup B \mid B \in \mathscr{B} \} \] と略記しても良いことにします。

また、\(A\)と\(\mathscr{B}\)を任意の集合とすると、分出公理によって集合 \[\{X \in \mathcal{P}A \mid \exists B \in \mathscr{B}(X = A \cap B) \} \] が得られますが、\(A \cap B \subseteq A\)より\(A \cap B \in \mathcal{P}A\)なので、この集合は \[\{X \mid \exists B \in \mathscr{B}(X = A \cap B) \} \] と略記出来ます。さらにこの集合を \[\{ A \cap B \mid B \in \mathscr{B} \} \] と略記しても良いことにします。

さらに、\(A\)と\(\mathscr{B}\)を任意の集合とすると、分出公理によって集合 \[\{X \in \mathcal{P}A \mid \exists B \in \mathscr{B}(X = A - B) \} \] が得られますが、\(A - B \subseteq A\)より\(A - B \in \mathcal{P}A\)なので、この集合は \[\{X \mid \exists B \in \mathscr{B}(X = A - B) \} \] と略記出来ます。さらにこの集合を \[\{ A - B \mid B \in \mathscr{B} \} \] と略記しても良いことにします。

加えて、\(\mathscr{A}\)を任意の集合とすると、分出公理によって集合 \[\{X \in \mathcal{P}\mathcal{P}\bigcup\mathscr{A} \mid \exists A \in \mathscr{A}(X = \mathcal{P}A) \} \] が得られますが、\(A \in \mathscr{A} \Rightarrow \mathcal{P}A \in \mathcal{P}\mathcal{P}\bigcup\mathscr{A}\)よりこの集合は \[\{X \mid \exists A \in \mathscr{A}(X = \mathcal{P}A) \} \] と略記出来ます。さらにこの集合を \[\{ \mathcal{P}A \mid A \in \mathscr{A} \} \] と略記しても良いことにします。

集合論の公理には他に無限公理、選択公理、置換公理図式、正則性公理がありますが、これらは今後必要になった時に改めて導入することにします。