超実数
超実数を定義する前に、抽象代数学の概念をいくつかおさらいしておきます。
定義(半群)
\(\circ\)が集合\(S\)上の二項演算で、結合律 \[\forall a,b,c \in S : (a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c) \] を満たす時、組\((S,\cdot)\)を半群と言います。
定義(可換半群)
\((S,\circ)\)が半群で、さらに可換律 \[\forall a,b \in S : a \circ b= b \circ a \] を満たす時、組\((S,\circ)\)を可換半群と言います。
定義(モノイド)
\((M,\circ)\)が半群かつ\(M\)上の零項演算\(e\)が\(\circ\)の単位元 \[\forall a \in M : a \circ e = e \circ a = a \] の時、組\((M,\circ,e)\)をモノイドと言います（ここでは写像\(e:M^0 \rightarrow M\)と\(M\)の１つの元を同一視しているので注意して下さい）。
定義(可換モノイド)
\((M,\circ)\)が可換半群かつ\((M,\circ,e)\)がモノイドの時、組\((M,\circ,e)\)を可換モノイドと言います。
定義(群)
\((G,\circ,e)\)がモノイドかつ\(G\)上の単項演算\(i\)が\(G\)の各元をその逆元に写す時、すなわち \[\forall a \in G : a \circ i(a) = i(a) \circ a = e \] が成り立つ時、組\((G,\circ,e,i)\)を群と言います。
定義(可換群)
\((G,\circ,e)\)が可換モノイドかつ\((G,\circ,e,i)\)が群の時、組\((G,\circ,e,i)\)を可換群と言います。
定義(擬環)
\((R,+,0,-\square)\)が可換群かつ\((R,\cdot)\)が半群で、\(+\)上の\(\cdot\)の左分配律 \[\forall a,b,c \in R : a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c\] 及び右分配律 \[\forall a,b,c \in R : (b + c) \cdot a = b \cdot a + c \cdot a\] を満たす時、組\((R,+,0,-\square,\cdot)\)を擬環と言います。
定義(可換擬環)
\((R,\cdot)\)が可換半群かつ\((R,+,0,-\square,\cdot,1)\)が環の時、組\((R,+,0,-\square,\cdot)\)を可換擬環と言います。
定義(環)
\((R,\cdot,1)\)がモノイドで、\((R,+,0,-\square,\cdot)\)が擬環の時、組\((R,+,0,-\square,\cdot,1)\)を環と言います。
定義(可換環)
\((R,\cdot,1)\)が可換モノイドかつ\((R,+,0,-\square,\cdot,1)\)が環の時、 組\((R,+,0,-\square,\cdot,1)\)を可換環と言います。
定義(体)
\((F-\{0\},\cdot,1,\square^{-1})\)が可換群かつ\((F,+,0,-\square,\cdot,1)\)が可換環の時、 組\((F,+,0,-\square,\cdot,1,\square^{-1})\)を体と言います。
定義(線型順序集合)
\(T\)上の二項関係\(<\)について、推移律 \[\forall a,b,c \in T : a < b \wedge b < c \Rightarrow a < c\] 及び三分律 \[\forall a,b \in T: (a < b \equiv a=b \equiv b < a) \wedge \neg(a < b \wedge a=b \wedge b < a)\] が成り立つ時、組\(T,<\)を線型順序集合と言います。
定義(順序可換擬環)
\((R,+,0,-\square,\cdot)\)が可換擬環かつ\((R,<)\)が線型順序集合で、 \[\forall a,b,c \in R: a < b \Rightarrow a+c < b+c\] 及び \[\forall a,b,c \in R: a < b \wedge 0 < c \Rightarrow a \cdot c < b \cdot c\] が成り立つ時、組\((R,<,+,0,-\square,\cdot)\)を順序可換擬環と言います。
定義(順序可換環)
\((R,<,+,0,-\square,\cdot)\)が順序可換擬環で\((R,+,0,-\square,\cdot,1)\)が可換環の時、 組\((R,<,+,0,-\square,\cdot,1)\)を順序可換環と言います。
定義(順序体)
\((R,<,+,0,-\square,\cdot,1)\)が順序可換環で\((F,+,0,-\square,\cdot,1,\square^{-1})\)が体の時、 組\((F,<,+,0,-\square,\cdot,1,\square^{-1})\)を順序体と言います。
定義(完備順序体)
\((F,<,+,0,-\square,\cdot,1,\square^{-1})\)が順序体で、\(F\)の任意の空でない部分集合が\(F\)の中に最小上界を持つ時、 組\((F,<,+,0,-\square,\cdot,1,\square^{-1})\)を完備順序体と言います。
定義(実数)
証明は別の機会に回しますが完備順序体は(同型を除いて一意に)存在しますので、これを一つ固定し記号\(\mathbb R\)で参照することにします。 また、\(\mathbb R\)の元を実数と呼ぶことにします。
以下、書きかけです。